Cómo construir modelos de valoración como Black-Scholes

Valorar las opciones puede ser un asunto complicado. Considere el siguiente escenario: en enero de 2015, las  acciones de opción  de compra sobre las acciones de IBM con un  precio  de ejercicio de cajero automático de $ 155, esperando beneficiarse de un alto porcentaje de rendimiento, basado en un pequeño costo de opción ( prima de opción ), en comparación con la compra de acciones con un alto precio de compra.

Hoy en día, se encuentran disponibles un par de métodos diferentes listos para usar para valorar las opciones, incluido el  modelo de Black-Scholes  y el  modelo de árbol binomial, que pueden proporcionar respuestas rápidas. Pero, ¿cuáles son los factores subyacentes y los conceptos impulsores para llegar a tales modelos de valoración? ¿Se puede preparar algo similar, en base al concepto de estos modelos?

Aquí, cubrimos los componentes básicos, los conceptos subyacentes y los factores que se pueden utilizar como marco para construir un modelo de valoración para un activo, como las opciones, proporcionando una comparación lado a lado con los orígenes de Black-Scholes (BS ) modelo.

Este artículo no pretende desafiar las suposiciones o cualquier otro factor del modelo BS (que es un tema completamente diferente); más bien, pretende explicar el concepto subyacente del modelo Black-Scholes, junto con la idea del desarrollo del modelo de valoración.

El mundo antes de Black-Scholes

Antes de Black-Scholes, se seguía ampliamente el modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM) basado en el equilibrio. Los rendimientos y los riesgos se equilibraron entre sí, en función de la preferencia del inversor, es decir, se esperaba que un inversor con alto riesgo se compensara con (el potencial de) rendimientos más altos en una proporción similar.

El modelo BS tiene sus raíces en CAPM. Según Fischer Black: «Apliqué el Modelo de fijación de precios de activos de capital a cada momento de la vida de una garantía, para cada posible precio de acción y valor de garantía». Desafortunadamente, el CAPM no pudo cumplir con el requisito defijación de preciosde garantía (opción).

Black-Scholes sigue siendo el primer modelo, basado en el concepto de arbitraje, que realiza un cambio de paradigma desde los modelos basados ​​en el riesgo (como CAPM). Este nuevo desarrollo del modelo BS reemplazó el concepto de rentabilidad de las acciones CAPM con el reconocimiento del hecho de que una posición perfectamente cubierta generará una tasa libre de riesgo. Esto eliminó las variaciones de riesgo y rendimiento, y estableció el concepto de arbitraje en el que las valoraciones se realizan sobre supuestos de concepto neutral al riesgo: una posición cubierta (libre de riesgo) debe conducir a una tasa de rendimiento libre de riesgo.

El desarrollo de Black-Scholes

Comencemos por establecer el problema, cuantificarlo y desarrollar un marco para su solución. Continuamos con nuestro ejemplo sobre la valoración de la opción call de cajero automático en IBM con un precio de ejercicio de $ 155 con un año de vencimiento.

Sobre la base de la definición básica de una opción de compra, a menos que el precio de las acciones alcance el nivel del precio de ejercicio, la recompensa permanece cero. Publique ese nivel, la recompensa aumenta linealmente (es decir, un aumento de un dólar en el subyacente proporcionará una recompensa de un dólar de la opción de compra).

Suponiendo que el comprador y el vendedor acuerden una valoración justa (incluido el precio cero), el precio justo teórico para esta opción de compra será:

• Precio de la opción call = $ 0, si subyacente <strike (gráfico rojo)
• Precio de la opción call = (subyacente — ejercicio), si el subyacente> = ejercicio (gráfico azul)

Esto representa el valor intrínseco de la opción y parece perfecto desde el punto de vista del comprador de una opción de compra. En la región roja, tanto el comprador como el vendedor tienen una valoración justa (precio cero para el vendedor, pago cero para el comprador). Sin embargo, el desafío de la valoración comienza con la región azul, ya que el comprador tiene la ventaja de una recompensa positiva, mientras que el vendedor sufre una pérdida (siempre que el precio subyacente supere el precio de ejercicio). Aquí es donde el comprador tiene una ventaja sobre el vendedor con precio cero. El precio debe ser distinto de cero para compensar al vendedor por el riesgo que está asumiendo.

En el primer caso (gráfico rojo), teóricamente, el vendedor recibe un precio cero y el potencial de pago para el comprador es cero (justo para ambos). En este último caso (gráfico azul), el diferencial entre el subyacente y el strike lo pagará el vendedor al comprador. El riesgo del vendedor se extiende a lo largo de todo un año. Por ejemplo, el precio de las acciones subyacentes puede moverse muy alto (digamos a $ 200 en cuatro meses) y el vendedor debe pagar al comprador el diferencial de $ 45.

Por lo tanto, se reduce a:

1. ¿Cruzará el precio del subyacente el precio de ejercicio?
2. Si es así, ¿qué tan alto puede subir el precio subyacente (ya que eso determinará la recompensa para el comprador)?

Esto indica el gran riesgo que asume el vendedor, lo que lleva a la pregunta: ¿por qué alguien vendería una llamada así, si no obtiene nada por el riesgo que está tomando?

Nuestro objetivo es llegar a un precio único que el vendedor deba cobrar al comprador, lo que puede compensarlo por el riesgo general que está asumiendo durante un año, tanto en la región de pago cero (rojo) como en la región de pago lineal (azul).. El precio debe ser justo y aceptable tanto para el comprador como para el vendedor. De lo contrario, el que está en desventaja en términos de pagar o recibir un precio injusto no participará en el mercado, frustrando así el propósito del negocio comercial. El modelo de Black-Scholes tiene como objetivo establecer este precio justo considerando la variación constante del precio de la acción, el valor temporal del dinero, el precio de ejercicio de la opción y el tiempo hasta el vencimiento de la opción. De manera similar al modelo BS, veamos cómo podemos acercarnos a evaluar esto para nuestro ejemplo usando nuestros propios métodos.

¿Cómo evaluar el valor intrínseco en la región azul?

Hay un par de métodos disponibles para predecir el movimiento de precios esperado en el futuro durante un período de tiempo determinado:

• Se pueden analizar movimientos de precios similares de la misma duración en el pasado reciente. El precio de cierre histórico de IBM indica que en el último año (del 2 de enero de 2014 al 31 de diciembre de 2014), el precio cayó a 160,44 dólares desde 185,53 dólares, una disminución del 13,5%. ¿Podemos concluir un movimiento de precios de -13,5% para IBM?
• Una verificación más detallada indica que tocó un máximo anual de $ 199.21 (el 10 de abril de 2014) y un mínimo anual de $ 150.5 (el 16 de diciembre de 2014). Basándolos en el día de inicio, 2 de enero de 2014, y el precio de cierre de $ 185.53, el cambio porcentual varía de + 7.37% a -18.88%. Ahora, el rango de variación parece mucho más amplio en comparación con la disminución calculada anteriormente del 13,5%.

Se pueden realizar análisis y observaciones similares sobre datos históricos. Para continuar con el desarrollo de nuestro modelo de precios, asumamos esta sencilla metodología para medir futuras variaciones de precios.

Suponga que IBM aumenta un 10% cada año (según los datos históricos de los últimos 20 años). Las estadísticas básicas indican que la probabilidad de que el precio de las acciones de IBM oscile alrededor del + 10% será mucho mayor que la probabilidad de que el precio de IBM suba un 20% o baje un 30%, asumiendo que los patrones históricos se repiten. Al recopilar puntos de datos históricos similares con valores de probabilidad, se puede calcular un rendimiento general esperado sobre el precio de las acciones de IBM en un período de un año como un promedio ponderado de probabilidades y rendimientos asociados. Por ejemplo, suponga que los datos históricos de precios de IBM indican los siguientes movimientos:

• (-10%) en el 25% de las veces,
• + 10% en el 35% de las veces,
• + 15% en 20% de veces,
• + 20%  en 10% de veces,
• + 25% en 5% de veces y
• (-15%) en el 5% de las veces.

Por lo tanto, el promedio ponderado (o el valor esperado) llega a:

(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 15% * 5%) / 100% = 6,5%

Es decir, en promedio, se espera que el precio de las acciones de IBM regrese + 6.5% en el plazo de un año por cada dólar. Si alguien compra acciones de IBM con un horizonte de un año y un precio de compra de $ 155, se puede esperar un rendimiento neto de 155 * 6,5% = $ 10,075.

Sin embargo, esto es para la devolución de acciones. Necesitamos buscar retornos esperados similares para la opción de compra.

Con base en el pago cero de la llamada por debajo del precio de ejercicio ($ 155 existentes – llamada de cajero automático), todos los movimientos negativos generarán pagos cero, mientras que todos los movimientos positivos por encima del precio de ejercicio generarán un pago equivalente. El rendimiento esperado de la opción de compra será, por tanto:

( -0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 0 % * 5%) / 100% = 9,75%

Es decir, por cada $ 100 invertidos en la compra de esta opción, uno puede esperar $ 9,75 (según las suposiciones anteriores).

Sin embargo, esto aún permanece confinado a la valuación justa del monto intrínseco de la opción y no captura correctamente el riesgo asumido por el vendedor de la opción por las altas oscilaciones que pueden ocurrir en el ínterin (en el caso de las altas y bajas dentro del año mencionadas precios). Además del valor intrínseco, ¿qué precio pueden acordar el comprador y el vendedor, de modo que el vendedor reciba una compensación justa por el riesgo que asume durante el período de un año?

Estos cambios pueden variar ampliamente y el vendedor puede tener su propia interpretación de cuánto quiere ser compensado por ello. El modelo Black-Scholes asume opciones de tipo europeo, es decir, ningún ejercicio antes de la fecha de vencimiento. Por lo tanto, no se ve afectado por las oscilaciones de precios intermedias y basa su valoración en los días de negociación de un extremo a otro.

En el comercio de día real, esta volatilidad juega un papel importante en la determinación de los precios de las opciones. La función de pago azul que vemos comúnmente es en realidad el pago en la fecha de vencimiento. Siendo realistas, el precio de la opción (gráfico rosa) siempre es más alto que la recompensa (gráfico azul), lo que indica el precio tomado por el vendedor para compensar sus habilidades para asumir riesgos. Es por eso que el precio de la opción también se conoce como la «prima» de la opción, que indica esencialmente la prima de riesgo.

Esto puede incluirse en nuestro modelo de valoración, dependiendo de cuánta volatilidad se espera en el precio de las acciones y cuánto valor esperado produciría.

El modelo de Black-Scholes lo hace de manera eficiente (por supuesto, dentro de sus propios supuestos) de la siguiente manera:

El modelo BS asume una distribución logarítmica normal de los movimientos del precio de las acciones, lo que justifica el uso de N (d1) y N (d2).

• En la primera parte, S indica el precio actual de la acción.
• N (d1) indica la probabilidad del movimiento actual del precio de las acciones.

Si esta opción es in-the-money y permite al comprador ejercer esta opción, obtendrá una acción de las acciones subyacentes de IBM. Si el operador lo ejerce hoy, entonces el S * N (d1) representa el valor esperado actual de la opción.

En la segunda parte, X indica el precio de ejercicio.

• N (d2) representa la probabilidad de que el precio de la acción esté por encima del precio de ejercicio.
• Entonces X * N (d2) representa el valor esperado del precio de las acciones que permanece por encima  del precio de ejercicio.

Dado que el modelo de Black-Scholes asume opciones de estilo europeo en las que el ejercicio solo es posible al final, el valor esperado representado anteriormente por X * N (d2) debe descontarse por el valor temporal del dinero. Por lo tanto, la última parte se multiplica con el término exponencial elevado a la tasa de interés durante el período de tiempo.

La diferencia neta de los dos términos indica el valor del precio de la opción a día de hoy (en el que se descuenta el segundo término)

En nuestro marco, dichos movimientos de precios se pueden incluir con mayor precisión de varias formas:

• Mayor refinamiento de los cálculos de rendimiento esperado al expandir el rango a intervalos más finos para incluir movimientos de precios intradía / intraaño
• Inclusión de datos de mercado actuales, ya que refleja la actividad actual (similar a la volatilidad implícita )
• Rendimientos esperados en la fecha de vencimiento, que se pueden descontar hasta el día actual para obtener valoraciones realistas y reducir aún más el valor actual.

De esta forma, vemos que no hay límite para los supuestos, metodologías y personalización para ser seleccionados para el análisis cuantitativo. Dependiendo del activo a negociar o de la inversión a considerar, se puede trabajar en un modelo de desarrollo propio. Es importante señalar que la volatilidad de los movimientos de precios de las diferentes clases de activos varía mucho (las acciones tienen un  sesgo de volatilidad, el mercado de divisas tiene una  volatilidad fruncida) y los usuarios deben incorporar los patrones de volatilidad aplicables en sus modelos. Las suposiciones y los inconvenientes son parte integral de cualquier modelo y la aplicación informada de modelos en escenarios comerciales del mundo real puede producir mejores resultados.

La línea de fondo

Con activos complejos que ingresan a los mercados o incluso activos simples entrando en formas complejas de negociación, el modelado y análisis cuantitativo se está volviendo obligatorio para la valoración. Desafortunadamente, ningún modelo matemático viene sin una serie de inconvenientes y suposiciones. El mejor enfoque es mantener las suposiciones al mínimo y ser consciente de los inconvenientes implícitos, que pueden ayudar a trazar las líneas sobre el uso y la aplicabilidad de los modelos.