Exploración de la media móvil ponderada exponencialmente

La volatilidad es la medida de riesgo más común, pero se presenta en varios sabores. En un artículo anterior, mostramos cómo calcular la volatilidad histórica simple. En este artículo, mejoraremos la volatilidad simple y discutiremos la media móvil ponderada exponencialmente (EWMA).

Volatilidad histórica versus implícita

Primero, pongamos esta métrica en un poco de perspectiva. Hay dos enfoques generales: volatilidad histórica e implícita (o implícita). El enfoque histórico asume que el pasado es un prólogo; medimos la historia con la esperanza de que sea predictiva. La volatilidad implícita, por otro lado, ignora la historia; resuelve la volatilidad implícita en los precios de mercado. Espera que el mercado sepa más y que el precio de mercado contenga, incluso implícitamente, una estimación consensuada de la volatilidad.

Si nos enfocamos solo en los tres enfoques históricos (arriba a la izquierda), tienen dos pasos en común:

1. Calcular la serie de rendimientos periódicos
2. Aplicar un esquema de ponderación

Primero, calculamos el rendimiento periódico. Suele ser una serie de rendimientos diarios en los que cada rendimiento se expresa en términos compuestos continuamente. Para cada día, tomamos el logaritmo natural de la razón de los precios de las acciones (es decir, el precio de hoy dividido por el precio de ayer, etc.).

Esto produce una serie de retornos diarios, desde u i hasta u i-m, dependiendo de cuántos días (m = días) estemos midiendo.

Eso nos lleva al segundo paso: aquí es donde difieren los tres enfoques. En el artículo anterior, mostramos que bajo un par de simplificaciones aceptables, la varianza simple es el promedio de los rendimientos al cuadrado:

Variance=σnorte2=1metro∑I=1metrotunorte-12where:metro=Númber of days measurednorte=Dunay Itu=Difference of return from unverunge return\ begin {alineado} & \ text {Varianza} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum_ {i = 1} ^ mu ^ 2_ {n – 1} \\ & \ textbf {donde:} \\ & m = \ text {Número de días medidos} \\ & n = \ text {Día} i \\ & u = \ text {Diferencia entre el rendimiento y el rendimiento medio} \\ \ end {alineado}​Diferencia=σnorte2​=metro

Observe que esto suma cada uno de los rendimientos periódicos y luego divide ese total por el número de días u observaciones (m). Entonces, en realidad es solo un promedio de los rendimientos periódicos al cuadrado. Dicho de otra manera, a cada retorno al cuadrado se le da el mismo peso. Entonces, si alfa (a) es un factor de ponderación (específicamente, a = 1 / m), entonces una varianza simple se parece a esto:

El EWMA mejora en la varianza simple La debilidad de este enfoque es que todos los retornos ganan el mismo peso. El rendimiento de ayer (muy reciente) no tiene más influencia en la variación que el rendimiento del mes pasado. Este problema se soluciona utilizando la media móvil ponderada exponencialmente (EWMA), en la que los rendimientos más recientes tienen mayor peso en la varianza.

La media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) introduce lambda, que se denomina parámetro de suavizado. Lambda debe ser menor que uno. Bajo esa condición, en lugar de pesos iguales, cada retorno al cuadrado se pondera mediante un multiplicador de la siguiente manera:

Por ejemplo, RiskMetricsTM, unaempresa de gestión de riesgos financieros, tiende a utilizar una lambda de 0,94 o 94%. En este caso, el primer retorno periódico al cuadrado (el más reciente) se pondera con (1-0,94) (. 94) = 6%. El siguiente retorno al cuadrado es simplemente un múltiplo lambda del peso anterior; en este caso 6% multiplicado por 94% = 5,64%. Y el peso del tercer día anterior es igual a (1-0,94) (0,94) = 5,30%.

Ese es el significado de «exponencial» en EWMA: cada peso es un multiplicador constante (es decir, lambda, que debe ser menor que uno) del peso del día anterior. Esto asegura una variación ponderada o sesgada hacia datos más recientes. La diferencia entre simplemente volatilidad y EWMA para Google se muestra a continuación.

La volatilidad simple pesa efectivamente todos y cada uno de los retornos periódicos en un 0.196%, como se muestra en la Columna O (teníamos dos años de datos diarios sobre el precio de las acciones. Eso es 509 retornos diarios y 1/509 = 0.196%). Pero observe que la Columna P asigna un peso del 6%, luego del 5,64%, luego del 5,3% y así sucesivamente. Esa es la única diferencia entre la varianza simple y EWMA.

Recuerde: después de sumar toda la serie (en la Columna Q) tenemos la varianza, que es el cuadrado de la desviación estándar. Si queremos volatilidad, debemos recordar sacar la raíz cuadrada de esa varianza.

¿Cuál es la diferencia en la volatilidad diaria entre la varianza y EWMA en el caso de Google? Es significativo: la varianza simple nos dio una volatilidad diaria de 2.4% pero la EWMA dio una volatilidad diaria de solo 1.4% (vea la hoja de cálculo para más detalles). Aparentemente, la volatilidad de Google se calmó más recientemente; por lo tanto, una simple variación podría ser artificialmente alta.

La variación de hoy es una función de la variación del día anterior

Notarás que necesitábamos calcular una larga serie de pesos decrecientes exponencialmente. No haremos los cálculos aquí, pero una de las mejores características de EWMA es que toda la serie se reduce convenientemente a una fórmula recursiva:

Recursivo significa que la varianza de hoy hace referencia (es decir, es una función de) la varianza del día anterior. También puede encontrar esta fórmula en la hoja de cálculo, ¡y produce exactamente el mismo resultado que el cálculo a mano! Dice: la varianza de hoy (bajo EWMA) es igual a la varianza de ayer (ponderada por lambda) más el retorno al cuadrado de ayer (ponderado por uno menos lambda). Observe cómo simplemente estamos sumando dos términos: la varianza ponderada de ayer y el retorno al cuadrado ponderado de ayer.

Aun así, lambda es nuestro parámetro de suavizado. Una lambda más alta (por ejemplo, como el 94% de RiskMetric) indica un deterioro más lento en la serie; en términos relativos, vamos a tener más puntos de datos en la serie y se «caerán» más lentamente. Por otro lado, si reducimos la lambda, indicamos un decaimiento más alto: los pesos caen más rápidamente y, como resultado directo del decaimiento rápido, se utilizan menos puntos de datos. (En la hoja de cálculo, lambda es una entrada, por lo que puede experimentar con su sensibilidad).

Resumen

La volatilidad es la desviación estándar instantánea de una acción y la métrica de riesgo más común. También es la raíz cuadrada de la varianza. Podemos medir la varianza histórica o implícitamente (volatilidad implícita). Al medir históricamente, el método más sencillo es una variación simple. Pero la debilidad de la varianza simple es que todos los retornos obtienen el mismo peso. Así que enfrentamos un compromiso clásico: siempre queremos más datos, pero cuantos más datos tengamos, más se diluirá nuestro cálculo con datos distantes (menos relevantes). El promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA) mejora la varianza simple asignando pesos a los rendimientos periódicos. Al hacer esto, ambos podemos usar un tamaño de muestra grande pero también dar mayor peso a las declaraciones más recientes.