Interés compuesto continuo

Tabla de contenido

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Tasas de retorno semestrales
Tasas de retorno trimestrales, mensuales y diarias
Cómo funciona la composición continua
Escalado en varios períodos
Preguntas frecuentes sobre la composición continua
La línea de fondo

El interés compuesto es el interés calculado sobre el capital inicial y también sobre el interés acumulado de períodos anteriores de un depósito o préstamo. El efecto del interés compuesto depende de la frecuencia.

Suponga una tasa de interés anual del 12%. Si comenzamos el año con $ 100 y lo capitalizamos solo una vez, al final del año, el capital aumenta a $ 112 ($ 100 x 1,12 = $ 112). El interés aplicado solo al principio se denomina interés simple. Si, en cambio, capitalizamos cada mes al 1%, terminamos con más de $ 112 al final del año. Es decir, $ 100 x 1.01 ^ 12 es igual a $ 112.68. (Es más alto porque compusimos con más frecuencia).

Los rendimientos continuamente compuestos componen el más frecuente de todos. La capitalización continua es el límite matemático que puede alcanzar el interés compuesto. Es un caso extremo de capitalización, ya que la mayoría de los intereses se capitalizan de forma mensual, trimestral o semestral.

Conclusiones clave

El interés simple se aplica solo al principio y no al interés acumulado.
El interés compuesto es el interés devengado por el principio y el interés aplicado previamente.
El efecto del interés compuesto depende de la frecuencia con la que se aplique.
Para los bonos, el rendimiento equivalente del bono es el rendimiento anual esperado.
Los rendimientos compuestos continuamente se escalan a lo largo de varios períodos.
Se dice que los intereses que se capitalizan en su frecuencia más alta se capitalizan continuamente.

Tasas de retorno semestrales

Primero, echemos un vistazo a una rendimiento equivalente a un bono (o una base equivalente a un bono ). Esto significa que si un bono rinde un 6% sobre una base semestral, su rendimiento equivalente al bono es del 12%.

El rendimiento semestral simplemente se duplica. Esto es potencialmente confuso porque el rendimiento efectivo de un bono de rendimiento equivalente a un bono del 12% es del 12,36% (es decir, 1,06 ^ 2 = 1,1236). Duplicar el rendimiento semestral es solo una convención de nomenclatura de bonos. Por lo tanto, si leemos sobre un bono del 8% compuesto semestralmente, asumimos que se refiere a un rendimiento semestral del 4%.

Tasas de retorno trimestrales, mensuales y diarias

Ahora, analicemos las frecuencias más altas. Seguimos asumiendo una tasa de interés de mercado anual del 12%. Según las convenciones de denominación de bonos, eso implica una tasa compuesta semestral del 6%. Ahora podemos expresar la tasa compuesta trimestral en función de la tasa de interés de mercado.

Dada una tasa de mercado anual ( r), la tasa compuesta trimestral ( r q ) viene dada por:

Entonces, para nuestro ejemplo, donde la tasa de mercado anual es del 12%, la tasa compuesta trimestral es del 11,825%:

rq=4
rq=4[(2

Una lógica similar se aplica a la capitalización mensual. La tasa compuesta mensual ( r m ) se da aquí como función de la tasa de interés anual del mercado ( r):

La tasa compuesta diaria ( d) en función de la tasa de interés de mercado ( r) viene dada por:

rD=360
rD=360[(2

Cómo funciona la composición continua

Si aumentamos la frecuencia compuesta hasta su límite, estamos componiendo continuamente. Si bien esto puede no ser práctico, la tasa de interés continuamente compuesta ofrece propiedades maravillosamente convenientes. Resulta que la tasa de interés compuesta continuamente viene dada por:

Con incrementos de tiempo más pequeños, la cantidad de interés ganado es infinitamente pequeña.

Ln () es el logaritmo natural y, en nuestro ejemplo, la tasa compuesta continuamente es por lo tanto:

rConortetInortetuotus=en⁡(1+0.12)=en⁡(1.12)≅11.33%\ begin {alineado} & r_ {continuo} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) \ cong 11.33 \% \\ \ end {alineado}rcontinuous=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%

Llegamos al mismo lugar tomando el logaritmo natural de esta relación: el valor final dividido por el valor inicial.

rConortetInortetuotus=en⁡(ValueEndValueStart)=en⁡(112100)≅11.33%\ begin {alineado} & r_ {continuo} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ izquierda (\ frac {112} {100} \ right) \ cong 11.33 \% \\ \ end {alineado}rcontinuous=ln(ValorComienzo

Este último es común cuando se calcula el rendimiento compuesto continuamente de una acción. Por ejemplo, si la acción salta de $ 10 un día a $ 11 al día siguiente, el rendimiento diario compuesto continuamente viene dado por:

rConortetInortetuotus=en⁡(ValueEndValueStart)=en⁡(PS11PS10)≅9.53%\ begin {alineado} & r_ {continuo} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ izquierda (\ frac {\ $ 11} {\ $ 10} \ right) \ cong 9.53 \% \\ \ end {alineado}rcontinuous=ln(ValueStart

What’s so great about the continuously compounded rate (or return) that we will denote with rc? First, it’s easy to scale it forward. Given a principal of (P), our final wealth over (n) years is given by:

w=Percn\begin{aligned} &w = Pe ^ {r_c n} \\ \end{aligned}w=Percn

Note that e is the exponential function. For example, if we start with $100 and continuously compound at 8% over three years, the final wealth is given by:

w=$100e(0.08)(3)=$127.12\begin{aligned} &w = \$100e ^ {(0.08)(3)} = \$127.12 \\ \end{aligned}w=$100e(0.08)(3)=$127.12

Discounting to the present value (PV) is merely compounding in reverse, so the present value of a future value (F) compounded continuously at a rate of (rc) is given by:

PV of F received in (n) years=Fercn=Fe−rcn\begin{aligned} &\text{PV of F received in (n) years} = \frac { F }{ e ^ {r_c n} } = Fe ^ { -r_c n} \\ \end{aligned}PV of F received in (n) years=ercn

For example, if you are going to receive $100 in three years under a 6% continuous rate, its present value is given by:

PV=Fe−rcn=($100)e−(0.06)(3)=$100e−0.18≅$83.53\begin{aligned} &\text{PV} = Fe ^ { -r_c n} = ( \$100 ) e ^ { -(0.06)(3) } = \$100 e ^ { -0.18 } \cong \$83.53 \\ \end{aligned}PV=Fe−rcn=($100)e−(0.06)(3)=$100e−0.18≅$83.53

Scaling Over Multiple Periods

The convenient property of the continuously compounded returns is that it scales over multiple periods. If the return for the first period is 4% and the return for the second period is 3%, then the two-period return is 7%. Consider we start the year with $100, which grows to $120 at the end of the first year, then $150 at the end of the second year. The continuously compounded returns are, respectively, 18.23% and 22.31%.

ln⁡(120100)≅18.23%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 120 }{ 100 } \right ) \cong 18.23\% \\ \end{aligned}ln(100

ln⁡(150120)≅22.31%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 150 }{ 120 } \right ) \cong 22.31\% \\ \end{aligned}ln(120

If we simply add these together, we get 40.55%. This is the two-period return:

ln⁡(150100)≅40.55%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 150 }{ 100 } \right ) \cong 40.55\% \\ \end{aligned}ln(100

Technically speaking, the continuous return is time consistent. Time consistency is a technical random variable, we want multiple-period random variables to be normally distributed also. Furthermore, the multiple-period continuously compounded return is normally distributed (unlike, say, a simple percentage return).

Continuous Compounding FAQs

What Does It Mean to Be Compounded Continuously?

To be compounded continuously means that there is no limit to how often interest can compound. Compounding continuously can occur an infinite number of times, meaning a balance is earning interest at all times.

Does Compounded Continuously Mean Daily?

Compounded continuously means that interest compounds every moment, at even the smallest quantifiable period of time. Therefore, compounded continuously occurs more frequently than daily.

Why Is Continuous Compounding Used?

Continuous compounding is used to show how much a balance can earn when interest is constantly accruing. For investors, they can calculate how much they expect to receive from an investment earning a continuously compounding rate of interest.

What Is the Difference Between Discrete and Continuous Compounding?

Discrete compounding applies interest at specific times, such as daily, monthly, quarterly, or annually. Discrete compounding explicitly defines the time in which interest will be applied. Continuous compounding applies interest continuously, at every moment in time.

What Is the Difference Between Compounding Annually and Continuously?

Compounding annually means that interest is applied to the principle and previously accumulated interest annually; whereas, compounding continuously means that interest is applied to the principle and accumulated interest at every moment. There is not a fraction of time that interest is not applied with continuous compounding.

The Bottom Line

We can reformulate annual interest rates into semiannual, quarterly, monthly, or daily interest rates (or rates of return). The most frequent compounding is continuous compounding, which requires us to use a natural log and an exponential function, commonly used in finance due to its desirable properties. Compounding continuously returns scale easily over multiple periods and is time consistent.