Desglosando el modelo binomial para valorar una opción
En el mundo financiero, los modelos de valoración de opciones de Black-Scholes y binomial son dos de los conceptos más importantes en la teoría financiera moderna. Ambos se utilizan para valorar una opción, y cada uno tiene sus propias ventajas y desventajas.
Algunas de las ventajas básicas de utilizar el modelo binomial son:
- Una vista de períodos múltiples
- Transparencia
- Capacidad para incorporar probabilidades
En este artículo, exploraremos las ventajas de usar el modelo binomial en lugar del modelo de Black-Scholes y brindaremos algunos pasos básicos para desarrollar el modelo y explicar cómo se usa.
Vista de períodos múltiples
El modelo binomial proporciona una vista de varios períodos del precio del activo subyacente, así como del precio de la opción. A diferencia del modelo Black-Scholes, que proporciona un resultado numérico basado en entradas, el modelo binomial permite el cálculo del activo y la opción para múltiples períodos junto con el rango de resultados posibles para cada período (ver más abajo).
La ventaja de esta vista de períodos múltiples es que el usuario puede visualizar el cambio en el precio de los activos de un período a otro y evaluar la opción en función de las decisiones tomadas en diferentes momentos. Para una opción con sede en EE. UU., Que puede ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, el modelo binomial puede proporcionar información sobre cuándo puede ser aconsejable ejercer la opción y cuándo debe mantenerse durante períodos más prolongados. Al observar el árbol binomial de valores, un comerciante puede determinar de antemano cuándo puede tomar una decisión sobre un ejercicio. Si la opción tiene un valor positivo, existe la posibilidad de ejercicio, mientras que, si la opción tiene un valor menor que cero, debe mantenerse por períodos más largos.
Transparencia
Estrechamente relacionada con la revisión de varios períodos está la capacidad del modelo binomial para proporcionar transparencia sobre el valor subyacente del activo y la opción a medida que avanza el tiempo. El modelo de Black-Scholes tiene cinco entradas:
- La tasa libre de riesgo
- El precio de ejercicio
- El precio actual del activo
- Tiempo hasta la madurez
- La volatilidad implícita del precio del activo.
Cuando estos puntos de datos se ingresan en un modelo de Black-Scholes, el modelo calcula un valor para la opción, pero los impactos de estos factores no se revelan de un período a otro. Con el modelo binomial, un operador puede ver el cambio en el precio del activo subyacente de un período a otro y el cambio correspondiente en el precio de la opción.
Incorporación de probabilidades
El método básico para calcular el modelo de opciones binomiales es usar la misma probabilidad en cada período de éxito y fracaso hasta que la opción expire. Sin embargo, un comerciante puede incorporar diferentes probabilidades para cada período en función de la nueva información obtenida a medida que pasa el tiempo.
Por ejemplo, puede haber una probabilidad del 50/50 de que el precio del activo subyacente pueda aumentar o disminuir en un 30 por ciento en un período. Sin embargo, para el segundo período, la probabilidad de que el precio del activo subyacente aumente puede crecer hasta 70/30. Por ejemplo, si un inversor está evaluando un pozo de petróleo, ese inversor no está seguro de cuál es el valor de ese pozo de petróleo, pero existe una probabilidad del 50/50 de que el precio suba. Si los precios del petróleo suben en el período 1, lo que hace que el pozo de petróleo sea más valioso y los fundamentos del mercado ahora apuntan a aumentos continuos en los precios del petróleo, la probabilidad de una mayor apreciación del precio ahora puede ser del 70 por ciento. El modelo binomial permite esta flexibilidad; el modelo de Black-Scholes no lo hace.
Desarrollando el modelo
El modelo binomial más simple tendrá dos rendimientos esperados cuyas probabilidades suman 100 por ciento. En nuestro ejemplo, hay dos posibles resultados para el pozo de petróleo en cada momento. Una versión más compleja podría tener tres o más resultados diferentes, a cada uno de los cuales se le da una probabilidad de ocurrencia.
Para calcular los rendimientos por período a partir del tiempo cero (ahora), debemos determinar el valor del activo subyacente en un período a partir de ahora. En este ejemplo, asumimos lo siguiente:
- Precio del activo subyacente (P): $ 500
- Precio de ejercicio de la opción de compra (K): $ 600
- Tasa libre de riesgo para el período: 1 por ciento
- Cambio de precio en cada período: 30 por ciento hacia arriba o hacia abajo
El precio del activo subyacente es de $ 500 y, en el Período 1, puede valer $ 650 o $ 350. Eso sería el equivalente a un aumento o disminución del 30 por ciento en un período. Dado que el precio de ejercicio de las opciones de compra que tenemos es de $ 600, si el activo subyacente termina siendo inferior a $ 600, el valor de la opción de compra sería cero. Por otro lado, si el activo subyacente excede el precio de ejercicio de $ 600, el valor de la opción de compra sería la diferencia entre el precio del activo subyacente y el precio de ejercicio. La fórmula para este cálculo es [max (PK), 0].
Suponga que hay un 50 por ciento de posibilidades de subir y un 50 por ciento de posibilidades de bajar. Usando los valores del Período 1 como ejemplo, esto se calcula como
max
max[($650-$600),0]∗0.5+max[($350-$600),0]∗0.5=$50∗0.5+$0=$25
Para obtener el valor actual de la opción de compra, debemos descontar los $ 25 en el Período 1 al Período 0, que es
Ahora puede ver que si se alteran las probabilidades, el valor esperado del activo subyacente también cambiará. Si se debe cambiar la probabilidad, también se puede cambiar para cada período subsiguiente y no necesariamente tiene que permanecer igual en todo momento.
El modelo binomial se puede extender fácilmente a múltiples períodos. Aunque el modelo Black-Scholes puede calcular el resultado de una fecha de vencimiento extendida, el modelo binomial extiende los puntos de decisión a múltiples períodos.
Usos del modelo binomial
Además de su uso como método para calcular el valor de una opción, el modelo binomial también se puede usar para proyectos o inversiones con un alto grado de incertidumbre, decisiones de presupuestación de capital y asignación de recursos, y proyectos con múltiples períodos o opción integrada para continuar o abandonar el proyecto en determinados momentos.
Un ejemplo simple es un proyecto que implica perforar en busca de petróleo. La incertidumbre de este tipo de proyecto es si la tierra que se está perforando tiene petróleo, la cantidad de petróleo que se puede perforar, si se encuentra el petróleo y el precio al que se puede vender el petróleo una vez extraído.
El modelo de opción binomial puede ayudar a tomar decisiones en cada punto del proyecto de perforación petrolera. Por ejemplo, supongamos que decidimos perforar, pero el pozo de petróleo solo será rentable si encontramos suficiente petróleo y el precio del petróleo excede cierta cantidad. Se necesitará un período completo para determinar la cantidad de petróleo que podemos extraer, así como el precio del petróleo en ese momento. Después del primer período (un año, por ejemplo), podemos decidir en base a estos dos puntos de datos si continuar perforando o abandonar el proyecto. Estas decisiones se pueden tomar de forma continua hasta que se llegue a un punto en el que no valga la pena perforar, momento en el que se abandonará el pozo.
La línea de fondo
El modelo binomial brinda una vista más detallada al permitir vistas de múltiples períodos del precio del activo subyacente y el precio de la opción para múltiples períodos, así como el rango de resultados posibles para cada período. Si bien tanto el modelo de Black-Scholes como el modelo binomial pueden usarse para valorar opciones, el modelo binomial tiene una gama más amplia de aplicaciones, es más intuitivo y más fácil de usar.