Optimice su cartera mediante la distribución normal
Tabla de contenido
Expandir
- Distribución normal (curva de campana)
- Riesgo y rentabilidad
- Teoría moderna de la cartera
- Los bloques de construcción
- Un ejemplo rápido de MPT
- Desafíos para MPT y distribución
- La línea de fondo
La distribución normal es la distribución de probabilidad que traza todos sus valores de forma simétrica con la mayoría de los resultados situados alrededor de la media de la probabilidad.
Distribución normal (curva de campana)
Los conjuntos de datos (como la altura de 100 personas, las calificaciones obtenidas por 45 alumnos en una clase, etc.) tienden a tener muchos valores en el mismo punto de datos o dentro del mismo rango. Esta distribución de puntos de datos se denomina distribución normal o de curva de campana.
Por ejemplo, en un grupo de 100 individuos, 10 pueden tener menos de 5 pies de altura, 65 pueden tener entre 5 y 5,5 pies y 25 pueden tener más de 5,5 pies. Esta distribución de límite de rango se puede trazar de la siguiente manera:
De manera similar, los puntos de datos trazados en gráficos para cualquier conjunto de datos dado pueden parecerse a diferentes tipos de distribuciones. Tres de las distribuciones más comunes son alineadas a la izquierda, alineadas a la derecha y desordenadas:
Observe la línea de tendencia roja en cada uno de estos gráficos. Esto indica aproximadamente la tendencia de distribución de datos. La primera, «Distribución alineada a la IZQUIERDA», indica que la mayoría de los puntos de datos se encuentran en el rango inferior. En el segundo gráfico de «Distribución alineada a la DERECHA», la mayoría de los puntos de datos se encuentran en el extremo superior del rango, mientras que el último, «Distribución desordenada», representa un conjunto de datos mixto sin ninguna tendencia clara.
Hay muchos casos en los que la distribución de puntos de datos tiende a estar alrededor de un valor central, y ese gráfico muestra una distribución normal perfecta, igualmente equilibrada en ambos lados, con el mayor número de puntos de datos concentrados en el centro.
Aquí hay un conjunto de datos perfecto, normalmente distribuido:
El valor central aquí es 50 (que tiene la mayor cantidad de puntos de datos), y la distribución se reduce uniformemente hacia los valores extremos de 0 y 100 (que tienen la menor cantidad de puntos de datos). La distribución normal es simétrica alrededor del valor central con la mitad de los valores en cada lado.
Muchos ejemplos de la vida real se ajustan a la distribución de la curva de campana:
- Lanza una moneda justa muchas veces (digamos 100 veces o más) y obtendrás una distribución normal equilibrada de caras y cruces.
- Lanza un par de dados justos muchas veces (digamos 100 veces o más) y el resultado será una distribución normal equilibrada centrada alrededor del número 7 y gradualmente disminuyendo hacia los valores extremos de 2 y 12.
- La altura de los individuos en un grupo de tamaño considerable y las calificaciones obtenidas por las personas en una clase siguen patrones normales de distribución.
- En las finanzas, los cambios en los valores de registro de la divisa tasas, índices de precios, y los precios de las acciones se supone que se distribuye normalmente.
Riesgo y rentabilidad
Cualquier inversión tiene dos aspectos: riesgo y retorno. Los inversores buscan el riesgo más bajo posible para obtener el mayor rendimiento posible. La distribución normal cuantifica estos dos aspectos mediante la media de los rendimientos y la desviación estándar del riesgo.
Valor medio o esperado
Un cambio medio particular del precio de una acción podría ser del 1,5% a diario, lo que significa que, en promedio, aumenta un 1,5%. Se puede llegar a este valor medio o valor esperado que significa retorno calculando el promedio en un conjunto de datos lo suficientemente grande que contenga cambios históricos de precios diarios de esa acción. Cuanto mayor sea la media, mejor.
Desviación Estándar
La desviación estándar indica la cantidad en que los valores se desvían en promedio de la media. Cuanto mayor sea la desviación estándar, más riesgosa será la inversión, ya que genera más incertidumbre.
Aquí hay una representación gráfica del mismo:
Por lo tanto, la representación gráfica de la distribución normal a través de su media y desviación estándar permite la representación tanto de los rendimientos como del riesgo dentro de un rango claramente definido.
Es útil saber (y estar seguro con certeza) que si algún conjunto de datos sigue el patrón de distribución normal, su media nos permitirá saber qué retornos esperar, y su desviación estándar nos permitirá saber que alrededor del 68% de los valores estará dentro de 1 desviación estándar, 95% dentro de 2 desviaciones estándar y 99% de los valores estarán dentro de 3 desviaciones estándar. Un conjunto de datos que tiene una media de 1,5 y una desviación estándar de 1 es mucho más riesgoso que otro conjunto de datos que tiene una media de 1,5 y una desviación estándar de 0,1.
Conocer estos valores para cada activo seleccionado (es decir, acciones, bonos y fondos) hará que el inversionista sea consciente de los riesgos y retornos esperados.
Es fácil aplicar este concepto y representar el riesgo y el rendimiento de una sola acción, bono o fondo. Pero, ¿se puede extender esto a una cartera de activos múltiples?
Las personas comienzan a negociar comprando una sola acción o bono o invirtiendo en un fondo mutuo. Gradualmente, tienden a aumentar sus tenencias y comprar múltiples acciones, fondos u otros activos, creando así una cartera. En este escenario incremental, los individuos construyen sus carteras sin una estrategia o mucha previsión. Los administradores de fondos profesionales, los comerciantes y los creadores de mercado siguen un método sistemático para construir su cartera utilizando un enfoque matemático llamado teoría de cartera moderna (MPT) que se basa en el concepto de «distribución normal».
Teoría moderna de la cartera
La teoría de cartera moderna (MPT) ofrece un enfoque matemático sistemático que tiene como objetivo maximizar el rendimiento esperado de una cartera para una cantidad determinada de riesgo de cartera mediante la selección de las proporciones de varios activos. Alternativamente, también ofrece minimizar el riesgo para un nivel dado de rendimiento esperado.
Para lograr este objetivo, los activos que se incluirán en la cartera no deben seleccionarse únicamente en función de sus propios méritos individuales, sino más bien de cómo se comportará cada activo en relación con los demás activos de la cartera.
En pocas palabras, MPT define la mejor manera de lograr la diversificación de la cartera para obtener los mejores resultados posibles: rendimientos máximos para un nivel aceptable de riesgo o riesgo mínimo para un nivel de rendimiento deseado.
Los bloques de construcción
El MPT era un concepto tan revolucionario cuando se presentó que sus inventores ganaron un Premio Noble. Esta teoría proporcionó con éxito una fórmula matemática para orientar la diversificación en la inversión.
La diversificación es una técnica de gestión de riesgos, que elimina el riesgo de “todos los huevos en una canasta” al invertir en acciones, sectores o clases de activos no correlacionados. Idealmente, el rendimiento positivo de un activo de la cartera cancelará el rendimiento negativo de otros activos.
Para tomar el rendimiento promedio de la cartera que tiene n activos diferentes, se calcula la combinación ponderada en proporción de los rendimientos de los activos constituyentes.
Debido a la naturaleza de los cálculos estadísticos y la distribución normal, el rendimiento total de la cartera (R p ) se calcula como:
La suma (∑), donde w i es el peso proporcional del activo i en la cartera, R i es el rendimiento (media) del activo i.
El riesgo de la cartera (o desviación estándar) es una función de las correlaciones de los activos incluidos, para todos los pares de activos (entre sí en el par).
Debido a la naturaleza de los cálculos estadísticos y la distribución normal, el riesgo global de la cartera (Std-dev) p se calcula como:
(StD-Dmiv)pag=sqrt
(Std-dev)pag=sqrt[I∑j∑wIwj(std-dev)I(std-dev)j(cor-cofyoj)]
Aquí, cor-cof es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los activos i y j, y sqrt es la raíz cuadrada.
Esto se ocupa del desempeño relativo de cada activo con respecto al otro.
Aunque esto parece matemáticamente complejo, el concepto simple que se aplica aquí incluye no solo las desviaciones estándar de los activos individuales, sino también las relacionadas entre sí.
Un buen ejemplo está disponible aquí en la Universidad de Washington.
Un ejemplo rápido de MPT
Como experimento mental, imaginemos que somos un administrador de cartera al que se le ha dado capital y se le asigna la tarea de cuánto capital debe asignarse a dos activos disponibles (A y B) para maximizar el rendimiento esperado y reducir el riesgo.
También tenemos los siguientes valores disponibles:
R un = 0,175
R b = 0,055
(Desv-estándar) a = 0,258
(Desv-estándar) b = 0,115
(Desv- estándar ) ab = -0,004875
(Cor-cof) ab = -0,164
Comenzando con una asignación igual de 50-50 a cada activo A y B, el R p se calcula en 0,115 y (Std-dev) p llega a 0,1323. Una simple comparación nos dice que para esta cartera de 2 activos, tanto el rendimiento como el riesgo están a medio camino entre los valores individuales de cada activo.
Sin embargo, nuestro objetivo es mejorar el rendimiento de la cartera más allá del mero promedio de cualquiera de los activos individuales y reducir el riesgo, de modo que sea menor que el de los activos individuales.
Tomemos ahora una posición de asignación de capital de 1,5 en el activo A y una posición de asignación de capital de -0,5 en el activo B. (La asignación de capital negativa significa poner en corto que las acciones y el capital recibido se utilizan para comprar el excedente del otro activo con asignación de capital positiva. En otras palabras, estamos acortando la acción B por 0.5 veces el capital y usamos ese dinero para comprar la acción A por una cantidad 1.5 veces del capital).
Usando estos valores, obtenemos R p como 0.1604 y (Std-dev) p como 0.4005.
De manera similar, podemos continuar usando diferentes ponderaciones de asignación para los activos A y B, y llegar a diferentes conjuntos de Rp y (Std-dev) p. Según el rendimiento deseado (Rp), se puede elegir el nivel de riesgo más aceptable (std-dev) p. Alternativamente, para el nivel de riesgo deseado, se puede seleccionar el mejor rendimiento de cartera disponible. De cualquier manera, a través de este modelo matemático de teoría de carteras, es posible cumplir con el objetivo de crear una cartera eficiente con la combinación de riesgo y rentabilidad deseada.
El uso de herramientas automatizadas permite detectar fácil y suavemente las mejores proporciones asignadas posibles fácilmente, sin necesidad de largos cálculos manuales.
La frontera eficiente, el Modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM) y la fijación de precios de activos utilizando MPT también evolucionan del mismo modelo de distribución normal y son una extensión de MPT.
Desafíos para MPT (y distribución normal subyacente)
Desafortunadamente, ningún modelo matemático es perfecto y cada uno tiene deficiencias y limitaciones.
El supuesto básico de que los rendimientos del precio de las acciones siguen la distribución normal en sí mismo se cuestiona una y otra vez. Existe suficiente prueba empírica de casos en los que los valores no se adhieren a la distribución normal supuesta. Basar modelos complejos en tales supuestos puede conducir a resultados con grandes desviaciones.
Yendo más allá en MPT, los cálculos y suposiciones sobre el coeficiente de correlación y la covarianza que permanecen fijos (basados en datos históricos) pueden no ser necesariamente ciertos para los valores esperados futuros. Por ejemplo, los mercados de bonos y acciones mostraron una correlación perfecta en el mercado del Reino Unido desde el período 2001 al 2004, donde los rendimientos de ambos activos bajaron simultáneamente. En realidad, se ha observado lo contrario durante largos períodos históricos anteriores a 2001.
El comportamiento de los inversores no se tiene en cuenta en este modelo matemático. Se descuidan los impuestos y los costos de transacción, aunque se asume la asignación fraccional de capital y la posibilidad de activos en corto.
En realidad, ninguna de estas suposiciones puede ser cierta, lo que significa que los rendimientos financieros realizados pueden diferir significativamente de las ganancias esperadas.
La línea de fondo
Los modelos matemáticos proporcionan un buen mecanismo para cuantificar algunas variables con números únicos rastreables. Pero debido a las limitaciones de los supuestos, los modelos pueden fallar.
La distribución normal, que forma la base de la teoría de la cartera, puede no aplicarse necesariamente a las acciones y otros patrones de precios de activos financieros. La teoría de la cartera en sí misma tiene muchos supuestos que deben examinarse críticamente antes de tomar decisiones financieras importantes.