Los usos y límites de la volatilidad

A los inversores les gusta centrarse en la promesa de altos rendimientos, pero también deberían preguntarse cuánto riesgo deben asumir a cambio de estos rendimientos. Aunque a menudo hablamos de riesgo en un sentido general, también existen expresiones formales de la relación riesgo-recompensa.

Por ejemplo, el índice de Sharpe mide el exceso de rendimiento por unidad de riesgo, donde el riesgo se calcula como volatilidad, que es una medida de riesgo tradicional y popular. Sus propiedades estadísticas son bien conocidas y se alimenta de varios marcos, como la teoría moderna de carteras y el modelo de Black-Scholes. En este artículo, examinamos la volatilidad para comprender sus usos y sus límites.

Desviación estándar anualizada

A diferencia de la volatilidad implícita, que pertenece a la teoría del precio de las opciones y es una estimación prospectiva basada en un consenso del mercado, la volatilidad regular mira hacia atrás. Específicamente, es la desviación estándar anualizada de los rendimientos históricos.

Los marcos de riesgo tradicionales que se basan en la desviación estándar generalmente asumen que los rendimientos se ajustan a una distribución normal en forma de campana. Las distribuciones normales nos brindan pautas útiles: aproximadamente dos tercios del tiempo (68,3%), los rendimientos deben caer dentro de una desviación estándar (+/-); y el 95% de las veces, los rendimientos deben estar dentro de dos desviaciones estándar. Dos cualidades de un gráfico de distribución normal son «colas» delgadas y simetría perfecta. Las colas delgadas implican una ocurrencia muy baja (alrededor del 0.3% del tiempo) de retornos que están a más de tres desviaciones estándar del promedio. La simetría implica que la frecuencia y magnitud de las ganancias al alza es una imagen especular de las pérdidas a la baja.

En consecuencia, los modelos tradicionales tratan toda incertidumbre como riesgo, independientemente de la dirección. Como ha demostrado mucha gente, eso es un problema si los rendimientos no son simétricos: los inversores se preocupan por sus pérdidas «a la izquierda» del promedio, pero no se preocupan por las ganancias a la derecha del promedio.

Ilustramos esta peculiaridad a continuación con dos acciones ficticias. La acción descendente (línea azul) no tiene ninguna dispersión y, por lo tanto, produce una volatilidad de cero, pero la acción ascendente, debido a que presenta varios choques al alza pero no una sola caída, produce una volatilidad (desviación estándar) del 10%.

Propiedades teóricas

Por ejemplo, cuando calculamos la volatilidad del índice S&P 500 al 31 de enero de 2004, obtenemos entre 14,7% y 21,1%. ¿Por qué tal rango? Porque debemos elegir tanto un intervalo como un período histórico. En cuanto al intervalo, podríamos recopilar una serie de retornos mensuales, semanales o diarios (incluso intradiarios). Y nuestra serie de rendimientos puede extenderse a un período histórico de cualquier duración, como tres, cinco o diez años. A continuación, hemos calculado la desviación estándar de los rendimientos del S&P 500 durante un período de 10 años, utilizando tres intervalos diferentes:

Observe que la volatilidad aumenta a medida que aumenta el intervalo, pero no de manera proporcional: la semana no es cinco veces la cantidad diaria y la mensual no es casi cuatro veces la semanal. Llegamos a un aspecto clave de la teoría del paseo aleatorio : la desviación estándar aumenta (aumenta) en proporción a la raíz cuadrada del tiempo. Por lo tanto, si la desviación estándar diaria es 1.1%, y si hay 250 días de negociación en un año, la desviación estándar anualizada es la desviación estándar diaria de 1.1% multiplicada por la raíz cuadrada de 250 (1.1% x 15.8 = 18.1%). Sabiendo esto, podemos anualizar las desviaciones estándar de intervalo para el S&P 500 multiplicando por la raíz cuadrada del número de intervalos en un año:

Otra propiedad teórica de la volatilidad puede sorprenderle o no: erosiona los rendimientos. Esto se debe al supuesto clave de la idea del paseo aleatorio: que los rendimientos se expresan en porcentajes. Imagine que comienza con $ 100 y luego gana un 10% para obtener $ 110. Luego pierde el 10%, lo que le da $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99). Luego, vuelve a ganar un 10%, para obtener $ 108,90 netos ($ 99 x 110% = $ 108,9). Finalmente, pierde el 10% a $ 98.01 netos. Puede ser contrario a la intuición, pero su capital se está erosionando lentamente a pesar de que su ganancia promedio es del 0%.

Si, por ejemplo, espera una ganancia anual promedio del 10% por año (es decir, promedio aritmético), resulta que su ganancia esperada a largo plazo es algo menos del 10% por año. De hecho, se reducirá aproximadamente a la mitad de la varianza (donde la varianza es la desviación estándar al cuadrado). En el hipotético puro a continuación, comenzamos con $ 100 y luego imaginamos cinco años de volatilidad para terminar con $ 157:

¿Se portan bien las devoluciones? El marco teórico es sin duda elegante, pero depende de los rendimientos que se comporten bien. Es decir, una distribución normal y una caminata aleatoria (es decir, independencia de un período al siguiente). ¿Cómo se compara esto con la realidad? Recopilamos rendimientos diarios durante los últimos 10 años para el S&P 500 y Nasdaq a continuación (alrededor de 2500 observaciones diarias):

Como es de esperar, la volatilidad del Nasdaq (desviación estándar anualizada del 28,8%) es mayor que la volatilidad del S&P 500 (desviación estándar anualizada del 18,1%). Podemos observar dos diferencias entre la distribución normal y los rendimientos reales. Primero, los retornos reales tienen picos más altos, lo que significa una mayor preponderancia de retornos cerca del promedio. En segundo lugar, los rendimientos reales tienen colas más gruesas. (Nuestros hallazgos se alinean un poco con estudios académicos más extensos, que también tienden a encontrar picos altos y colas gruesas; el término técnico para esto es curtosis ). Digamos que consideramos menos tres desviaciones estándar como una gran pérdida: el S&P 500 experimentó una pérdida diaria de menos tres desviaciones estándar alrededor del -3,4% del tiempo. La curva normal predice que tal pérdida ocurriría aproximadamente tres veces en 10 años, ¡pero en realidad sucedió 14 veces!

Estas son distribuciones de rendimientos de intervalo separados, pero ¿qué dice la teoría sobre los rendimientos a lo largo del tiempo? Como prueba, echemos un vistazo a las distribuciones diarias reales del S&P 500 anteriores. En este caso, el rendimiento anual promedio (durante los últimos 10 años) fue de alrededor del 10,6% y, como se discutió, la volatilidad anualizada fue del 18,1%. Aquí realizamos una prueba hipotética comenzando con $ 100 y manteniéndolo durante 10 años, pero exponemos la inversión cada año a un resultado aleatorio que promedió el 10,6% con una desviación estándar del 18,1%. Esta prueba se realizó 500 veces, lo que la convierte en la llamada simulación de Monte Carlo. Los resultados de precios finales de 500 pruebas se muestran a continuación:

Una distribución normal se muestra como telón de fondo únicamente para resaltar los resultados de precios muy anormales. Técnicamente, los resultados del precio final son lognormales (lo que significa que si el eje x se convirtiera en logaritmo natural de x, la distribución se vería más normal). El punto es que varios resultados de precios están muy a la derecha: de 500 ensayos, ¡seis resultados produjeron un resultado de final de período de $ 700! Estos preciosos pocos resultados lograron ganar más del 20% en promedio, cada año, durante 10 años. En el lado izquierdo, debido a que un saldo decreciente reduce los efectos acumulativos de las pérdidas porcentuales, solo obtuvimos un puñado de resultados finales que fueron menos de $ 50. Para resumir una idea difícil, podemos decir que los rendimientos de intervalo, expresados ​​en términos porcentuales, se distribuyen normalmente, pero los resultados del precio final tienen una distribución logarítmica normal.

Finalmente, otro hallazgo de nuestras pruebas es consistente con los «efectos de erosión» de la volatilidad: si su inversión ganara exactamente el promedio cada año, tendría alrededor de $ 273 al final (10.6% compuesto durante 10 años). Pero en este experimento, nuestra ganancia general esperada estuvo más cerca de $ 250. En otras palabras, la ganancia anual promedio (aritmética) fue del 10,6%, pero la ganancia acumulada (geométrica) fue menor.

Es fundamental tener en cuenta que nuestra simulación asume una caminata aleatoria: asume que los retornos de un período al siguiente son totalmente independientes. No lo hemos probado de ninguna manera, y no es una suposición trivial. Si cree que los rendimientos siguen las tendencias, técnicamente está diciendo que muestran una correlación serial positiva. Si cree que vuelven a la media, entonces técnicamente está diciendo que muestran una correlación serial negativa. Ninguna de las dos posiciones es coherente con la independencia.

La volatilidad del fondo es la desviación estándar anualizada de los rendimientos. En el marco teórico tradicional, no solo mide el riesgo, sino que afecta la expectativa de retornos a largo plazo (múltiples períodos). Como tal, nos pide que aceptemos los dudosos supuestos de que los rendimientos de intervalo se distribuyen normalmente y son independientes. Si estas suposiciones son ciertas, la alta volatilidad es un arma de doble filo: erosiona su rendimiento esperado a largo plazo (reduce el promedio aritmético al promedio geométrico), pero también le brinda más oportunidades de obtener algunas ganancias importantes.