Teorema del límite central (CLT)

¿Qué es el teorema del límite central (CLT)?

En el estudio de la teoría de la probabilidad, el teorema del límite central (CLT) establece que la distribución de la muestra se aproxima a una distribución normal (también conocida como «curva de campana») a medida que el tamaño de la muestra aumenta, asumiendo que todas las muestras son idénticas en tamaño, e independientemente de la forma de distribución de la población.

Dicho de otra manera, CLT es una teoría estadística que establece que dado un tamaño de muestra suficientemente grande de una población con un nivel finito de varianza, la media de todas las muestras de la misma población será aproximadamente igual a la media de la población. Además, todas las muestras seguirán un patrón de distribución normal aproximado, siendo todas las varianzas aproximadamente iguales a la varianza de la población, dividida por el tamaño de cada muestra.

Aunque este concepto fue desarrollado por primera vez por Abraham de Moivre en 1733, no fue nombrado formalmente hasta 1930, cuando el célebre matemático húngaro George Polya lo denominó oficialmente el Teorema del límite central.1

Comprensión del teorema del límite central (CLT)

Según el teorema del límite central, la media de una muestra de datos estará más cerca de la media de la población general en cuestión, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, a pesar de la distribución real de los datos. En otras palabras, los datos son precisos si la distribución es normal o aberrante.

Como regla general, los tamaños de muestra iguales o superiores a 30 se consideran suficientes para que se mantenga el CLT, lo que significa que la distribución de las medias muestrales se distribuye de manera bastante normal. Por lo tanto, cuantas más muestras se tomen, más los resultados graficados tomarán la forma de una distribución normal.

El teorema del límite central presenta un fenómeno en el que el promedio de las medias muestrales y las desviaciones estándar son iguales a la media y la desviación estándar de la población, lo que es extremadamente útil para predecir con precisión las características de las poblaciones.

El teorema del límite central en finanzas

El CLT es útil cuando se examinan los rendimientos de una acción individual o índices más amplios, porque el análisis es simple, debido a la relativa facilidad de generar los datos financieros necesarios. En consecuencia, los inversores de todo tipo confían en el CLT para analizar la rentabilidad de las acciones, construir carteras y gestionar el riesgo.

Digamos, por ejemplo, que un inversor desea analizar el rendimiento general de un índice bursátil que comprende 1000 acciones. En este escenario, ese inversor puede simplemente estudiar una muestra aleatoria de acciones para cultivar los rendimientos estimados del índice total. Se deben muestrear al menos 30 acciones seleccionadas al azar, en varios sectores, para que se mantenga el teorema del límite central. Además, las acciones previamente seleccionadas deben intercambiarse con diferentes nombres, para ayudar a eliminar el sesgo.