Definición del teorema de Bayes
¿Qué es el teorema de Bayes?
El teorema de Bayes, que lleva el nombre del matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes, es una fórmula matemática para determinar la probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un resultado, basada en un resultado previo. El teorema de Bayes proporciona una forma de revisar las predicciones o teorías existentes (actualizar las probabilidades) dada la evidencia nueva o adicional. En finanzas, el teorema de Bayes se puede utilizar para calificar el riesgo de prestar dinero a posibles prestatarios.
El teorema de Bayes también se llama Regla de Bayes o Ley de Bayes y es la base del campo de la estadística Bayesiana.
Conclusiones clave
- El teorema de Bayes le permite actualizar las probabilidades predichas de un evento incorporando nueva información.
- El teorema de Bayes recibió su nombre del matemático del siglo XVIII Thomas Bayes.
- A menudo se emplea en finanzas para actualizar la evaluación de riesgos.
Comprensión del teorema de Bayes
Las aplicaciones del teorema están muy extendidas y no se limitan al ámbito financiero. Como ejemplo, el teorema de Bayes se puede utilizar para determinar la precisión de los resultados de las pruebas médicas teniendo en cuenta la probabilidad de que una persona determinada tenga una enfermedad y la precisión general de la prueba. El teorema de Bayes se basa en incorporar distribuciones de probabilidad previas para generar probabilidades posteriores. La probabilidad previa, en la inferencia estadística bayesiana, es la probabilidad de un evento antes de que se recopilen nuevos datos. Ésta es la mejor evaluación racional de la probabilidad de un resultado basada en el conocimiento actual antes de realizar un experimento. La probabilidad posterior es la probabilidad revisada de que ocurra un evento después de considerar nueva información. La probabilidad posterior se calcula actualizando la probabilidad anterior mediante el teorema de Bayes. En términos estadísticos, la probabilidad posterior es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido.
El teorema de Bayes, por lo tanto, da la probabilidad de un evento basado en nueva información que está, o puede estar relacionada, con ese evento. La fórmula también se puede utilizar para ver cómo la probabilidad de que ocurra un evento se ve afectada por nueva información hipotética, suponiendo que la nueva información resulte ser cierta. Por ejemplo, digamos que se extrae una sola carta de una baraja completa de 52 cartas. La probabilidad de que la carta sea un rey es cuatro dividida por 52, lo que equivale a 1/13 o aproximadamente 7,69%. Recuerda que hay cuatro reyes en la baraja. Ahora, supongamos que se revela que la carta seleccionada es una figura. La probabilidad de que la carta seleccionada sea un rey, dado que se trata de una figura, es cuatro dividido por 12, o aproximadamente el 33,3%, ya que hay 12 figuras en una baraja.
Fórmula para el teorema de Bayes
Ejemplos del teorema de Bayes
A continuación se muestran dos ejemplos del teorema de Bayes en el que el primer ejemplo muestra cómo se puede derivar la fórmula en un ejemplo de inversión en acciones utilizando Amazon.com Inc. ( AMZN ). El segundo ejemplo aplica el teorema de Bayes a las pruebas de drogas farmacéuticas.
Derivando la fórmula del teorema de Bayes
El teorema de Bayes se deriva simplemente de los axiomas de probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado que ocurrió otro evento. Por ejemplo, una pregunta de probabilidad simple puede ser: «¿Cuál es la probabilidad de que caiga el precio de las acciones de Amazon.com?» La probabilidad condicional lleva esta pregunta un paso más allá al preguntar: «¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de AMZN caiga dado que el índice Dow Jones Industrial Average (DJIA) cayó antes?»
La probabilidad condicional de A dado que B ha sucedido se puede expresar como:
Si A es: «el precio AMZN cae», entonces P (AMZN) es la probabilidad de que AMZN caiga; y B es: «DJIA ya está caído», y P (DJIA) es la probabilidad de que el DJIA cayera; luego, la expresión de probabilidad condicional se lee como «la probabilidad de que AMZN caiga dada una disminución del DJIA es igual a la probabilidad de que el precio de AMZN disminuya y el DJIA disminuya sobre la probabilidad de una disminución en el índice DJIA».
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN y DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN y DJIA) es la probabilidad de que ocurran tanto A como B. Esto también es lo mismo que la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B dado que ocurre A, expresada como P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). El hecho de que estas dos expresiones sean iguales conduce al teorema de Bayes, que se escribe como:
si, P (AMZN y DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
luego, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Donde P (AMZN) y P (DJIA) son las probabilidades de que Amazon y el Dow Jones caigan, sin tener en cuenta entre sí.
La fórmula explica la relación entre la probabilidad de la hipótesis antes de ver la evidencia de que P (AMZN) y la probabilidad de la hipótesis después de obtener la evidencia P (AMZN | DJIA), dada una hipótesis para Amazon dada la evidencia en el Dow.
Ejemplo numérico del teorema de Bayes
Como ejemplo numérico, imagine que hay una prueba de drogas que tiene una precisión del 98%, lo que significa que el 98% de las veces muestra un resultado positivo verdadero para alguien que usa la droga y el 98% de las veces muestra un resultado negativo verdadero para los no usuarios de la droga. droga. A continuación, suponga que el 0,5% de las personas consumen la droga. Si una persona seleccionada al azar da positivo en la prueba del fármaco, se puede hacer el siguiente cálculo para ver si la probabilidad de que la persona sea realmente un usuario del fármaco.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
El teorema de Bayes muestra que incluso si una persona dio positivo en este escenario, en realidad es mucho más probable que la persona no sea un usuario de la droga.